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  th 10 OAPS Working Paper Series Paper No. 2013-012 Website: 醉汉随机行走问题的统计学模型 作者 (詹其秦) 指导老师(袁晓忠高景) 学院(机械与动力工程学院) School (School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University) 摘要 物理学发展历史上,布朗运动是分子运动论的重要证明,反映了分子无规则的热运动;麦克斯 韦运用统计原理得到了平衡态气体无规则热运动的规律,奠定了统计力学的基础;而本文提出的醉 汉随机行走模型,旨在运用统计思想简化对布朗运动的研究。本文解决了醉汉随机行走模型的分布 律问题,并且通过 MATLAB 进行醉汉随机行走问题的仿真实验,成功地研究了醉汉随机行走问题 的运动规律,进而推知了花粉的扩散现象。 关键词:位移分布函数,位移值分布函数,位移平方平均值 1 引言 在布朗运动中,由于水分子运动的无规则性,花粉在与水分子碰撞过程中受到涨 1 落不定的净作用力而不停地进行无规则运动,其运动有以下两个特点:○花粉之间的 2 影响很小;○花粉以非常高的频率改变着它的运动方向[1]。实际上,花粉的轨迹由大 量无规则可循的折线组成,它是一种具有自相似性的无规分形曲线,但这种自相似性 具有统计性质。建立在这个基础上,我们提出醉汉随机行走问题的统计学模型以简化 布朗运动的研究。 在醉汉随机行走问题的统计学模型中,设想有N 位醉汉 (N 足够大)喝醉酒之后从 1 原点步行出发,对任一醉汉其行走过程满足假设:○彼此行走互相独立,不会遇到障 2 3 碍物;○行走的速率始终相同;○每一步行走方向与 轴正向的夹角在 之间均匀 x (0, 2π) 4 分布;○每一步行走的路程在一个确定的区间(0, a) 内服从均匀分布(醉汉每一步行走的 3 4 路程不超过 )。醉汉随机行走也具有自相似性,其中假设○○正反映了醉汉行走的随 a 机性与无序性。花粉轨迹具有自相似性是从不同空间尺度下观察的结果,现设定可观 察到花粉运动轨迹的最小空间尺度为醉汉随机行走模型中醉汉所有所行步数中路程的 最小值。在最小空间尺度下观察到花粉运动方向改变一次,就认为花粉运动状态改变 了一次,对于小于最小空间尺度状态的改变认为无法观测花粉运动状态的改变。 醉汉随机行走模型与花粉的布朗运动具有相通之处,醉汉随机行走模型中的醉汉 人数对应了布朗运动中花粉数量。显然经过一段时间行走,二者都会在平面上显示出 一定的分布图像。尽管醉汉每一步行走的路程是随机的,但在后文将证明在统计规律 下经过一段相同的时间后,每一位醉汉行走的步数是相同的。即在一定的空间尺度下 上海交通大学 SJTU 1 詹其秦 机械与动力工程学院 可以认为,不同花粉在一段相同时间之内改变的运动状态次数相同,因此醉汉行走步 数对应了花粉扩散时间。 醉汉随机行走模型的求解与麦克斯韦解决平衡态气体分布律的方法是类似的。处 于平衡态的气体分子由于无规则的热运动,每一个分子的位置、速度随时间做无规则 的变化,但大量分子却具有确定的统计分布规律。同样,在醉汉随机行走问题中,醉 汉每一步行走的方向和路程是完全随机的、无序的,但是如果满足醉汉随机行走模型 的假设,那么醉汉随机行走问题同样具有确定的统计规律分布,因而可用统计学模型 进行求解。 2 醉汉随机行走模型的统计规律 正是由于醉汉随机行走模型与麦克斯韦分布律之间有着相似关系,类比于麦克斯 韦速度分布函数与速率分布函数引入醉汉位移分布函数与位移值分布函数。醉汉位移 值分布函数满足归一化条件,位移分布函数满足各项同性性,对等性及独立性等性质。 2.1 位移值分布函数 分子速率的统计分布可用速率分布函数描述,而醉汉最终位移值也可用位移值分 布函数描述。设一共有 位醉汉,每位醉汉行走完相同的步数 之后,位移值落在 N n ΔN r ~ r + Δr r 位移值间隔内的醉汉有ΔN 位,比值 代表在位移值 附近单位区间内的 N Δr 醉汉人数占总人数的比率。对于给定的 ,在醉汉行走步数 一定且Δr → 0 时,该比值 a n r 仅与 有关,称该极限比值为位移值分布函数,用f (r ) 表示,即 dN f (r ) = (2.1) Ndr 当r ≤ an 时, 取非零值;当r an 时, 。 f (r ) f (r ) = 0 考虑到当n → ∞ 时有limf (r ) = 0 ,此时可以认为f (r ) 定 r →∞ 义在(0,+∞) 上。按位移值分布函数定义,f (r ) 满足归一 化条件,即 +∞ ∫0 f (r )dr = 1 (2.2) 其几何意义为曲线 归一化函数 r 若已知位移值函数 ,设 为第 位醉汉行走 步之后相对于原点的位移,可定 f (r ) r i n i 义醉汉位移平方平均值 2 1 N r2 1 N 2 r = ∑r = ∑r (2.3) i i N i=1 N i=1 当N → ∞ 时,可得 +∞ r2 =∫0 r2 f (r )dr (2.4) 2 上海交通大学 SJTU th 10 OAPS Working Paper Series 醉汉随机行走问题的统计学模型 2.2 位移分布函数 位移值分布函数描述了醉汉行走时按位移值 r 的分布,并未考虑醉汉位置的分布情况。为了更 r 加细致地描述醉汉位置的分布,如图 2-2 在直角坐 标x -o - y 位移空间内引入位移分布函数F (r ,r ) 。 x y r r 令dN 代表醉汉分布在位移为 附近长为dr ,宽为 x dr 矩形区域内的醉汉人数,区域满足宏观小、微观 y 大。银河在线官方网址可定义位移分布函数为 dN F (r ,r ) = (2.5) x y Ndr dr x y 图2-2 直角坐标x -o - y 位移空间 r r 位移分布函数的意义为分布在位移 附近单位位移面积内的醉汉人数占总人数的 比例,它满足如下特点:[2] (1) 各向同性性。位移分布函数与位移方向无关,位移分布函数是位移分量的偶函 数,即 F (r ,r ) = F (r 2 ) = F (r 2 + r 2 ) (2.6) x y x y (2) 对等性。醉汉对 2 个位移分量 和 的分布是对等的,所以2 个位移分量的平 r r x y 方平均值相等,即 2 2 1 2 r = r = r (2.7) x y 2 (3) 独立性。醉汉对两个位移分量分布是相互独立的,即 F (r 2 ) = g (r 2 )g (r 2 ) (2.8) x y 2.3 位移值分布函数与位移分布函数关系 位移值分布函数可由位移分布函数确定:如图 2-3 所示: 在r ~ r + dr 区域内的醉汉人数对应于极坐标位移空间中内 r 径为 ,外径为r + dr 的圆环内的醉汉人数,设分布在圆环 中醉汉人数为dN ,dN 可用极坐标表示 r r 2π dNr = Nrdr∫0 F (r ,θ )dθ (2.9) 另一方面由位移值分布函数的定义可知 dNr = Nf (r )dr (2.10) 图2-3 极坐标位移空间 上海交通大学 SJTU 3 詹其秦 机械与动力工程学院 比较公式(2.9)与公式(2.10)可得位移值分布函数与位移分布函数的关系为 2π f (r ) =r ∫0 F (r ,θ )dθ (2.11) 3 醉汉位移平方平均值 假想一共有 位醉汉同时进行行走实验,每一位醉汉行走 步,第 位 N n i(i = 1,…, N ) r r 醉汉第p 步的位移为sip 且设 sip = sip ,易知 n r r r r r r =s + s +…+ s = ∑s (3.1) i i1 i 2 in ip p =1 将公式(3.1)等式两边平方且由 r2 r r 2 ,可得 r = r ⋅r = r i i i i n n 2 r2 r r r = r = ∑∑s ⋅ s (3.2) i i ip iq p =1q =1 r s 代表第 位醉汉的第 步行走的位移。 iq i q 下面对r 2 进行统计平均,由公式(2.3)定义,当N → ∞ 时,醉汉位移平方平均值 i 2 1 N 2 r = lim ∑r (3.3) i N →∞ N i=1 将公式(3.2)代入公式(3.3)得 2 1 n n N r r 1 n n N r r r = lim ∑∑∑sip ⋅siq + lim ∑∑∑sip ⋅siq (3.4) N →∞ N p =1 q =1 i=1 N →∞ N p =1 q =1 i=1 p =q p ≠q (1)当p =q 时, r r 2 sip ⋅siq = sip (3.5) 3 由于醉汉人数N → ∞ ,由统计学模型假设○可认为sip 在区间(0, a) 内连续均匀分布。 因区间的宽度为 ,对于给定的 和任意的 ,设s 概率密度函数为 a p ∈ (1,n ) i ∈(1, N) ip 1 h (s ) = 。由此可得 1 p a N 1 r r a 2 a 1 2 1 2 lim ∑s ⋅s = h (s )s ds = s ds = a (3.6) N →∞ N i=1 ip iq ∫0 1 p p p ∫0 a p p 3 所以对于任意的p =q ∈ (1,n )有 1 N r r 1 2 lim ∑sip ⋅siq = a (3.7) N →∞ N i=1 3 (2)当p ≠ q 时, r r r r s ⋅s = s s cosα = s s cosα (3.8) ip iq ip iq ipq ip iq ipq 4 上海交通大学 SJTU th 10 OAPS Working Paper Series 醉汉随机行走问题的统计学模型 其中 为第 位醉汉第 步与第 步方向的夹角。由于醉汉人数 , α ∈ 0, π i p q N → ∞ ipq [ ] 可认为 在区间 内连续均匀分布。因区间的宽度为 ,对于给定的 和 αipq (0, π) π p 、q ∈ [1,n ] 1 任意的i ∈[1, N ],设αipq 概率密度函数为h (α ) = 。由此可得 2 pq π 1 N r r 1 N lim ∑sip ⋅siq = lim ∑sipsiq cosαipq N →∞ N i=1 N →∞ N i=1 (3.9) N 1 1 1 π ≤ lim ∑cosα = h (α )cosα dα = 0 N →∞ a2 N i=1 ipq a2 ∫0 2 pq pq pq 所以对于任意的p 、q ∈ (1,n ),p ≠ q 有 1 N r r lim ∑sip ⋅siq = 0 (3.10) N →∞ N i=1 将公式(3.7)与公式(3.10)代入公式(3.4)可得醉汉位移平方平均值为 2 1 2 1 2 r = na + 0 = na 3 3 即 2 1 2 r = na (3.11) 3 由公式(3.11)知r2 ∝ n 。下面通过证明n ∝ t 来证明r2 ∝t 。 设醉汉以匀速率 行走,在时间 内第 位醉汉行走了n 步,第 步行走的时间为 v t i i p ,行走的总路程为 ,则 Δt s p i n n i r i si = ∑ sip = ∑vΔt p = vt (3.12) p =1 p =1 n 1 i r si = ∑ sip (3.13) ni p =1 当n → ∞ 时, i a 1 a 1 s = h (s)sds = sds = a (3.14) i ∫0 1 a ∫0 2 由公式(3.13)与公式(3.14)得 n i r 1 s = ∑ s = n s = an (3.15) i ip i i 2 i p =1 比较公式(3.12)与公式(3.15)得 2vt n = ∝ t (3.16) i a 另外由公式(3.16)注意到醉汉行走的步数与下标 并无关系,并且v,t, a 都是定值, i 所以每位醉汉行走的步数 相同,并且都与时间成正比,即 。所以关于引言中命 n n ∝ t 题 “不同花粉在一段相同时间之内改变的运动状态次数相同”得证。 上海交通大学 SJTU 5 詹其秦 机械与动力工程学院 再将公式(3.16)代入公式(3.11)得 2 1 2 2 r = na = avt ∝ t (3.17) 3 3 该结论和由郎之万方程得出的花粉位移平方平均值与时间成正比的结论相同。 4 位移分布函数与位移值分布函数推导 4.1 位移分布律 当且仅当 为指数函数形式时才满足 2.2 位移分布函数的 3 个特点,即 g 2 2 −α r g (rx ) ∝e x (4.1) 2 2 −α r g (ry ) ∝e y (4.2) 将公式(4.1)与公式(4.2)相乘可得 −α (r 2 +r 2 ) −αr2 F (r ,r ) = Ae x y = Ae (4.3) x y A 由位移分布函数归一化条件确定常数 , +∞ +∞ +∞ +∞ −α (r 2 +r 2 ) F (r ,r )dr dr = Ae x y dr dr = 1 ∫−∞ ∫−∞ x y x y ∫−∞ ∫−∞ x y 或 +∞ 2 −α r 2 A[ e x dr ] = 1 ∫−∞ x +∞ 2 π −αr 由积分公式 e x dr = ,可得 ∫−∞ x α α A = (4.4) π 下面只要确定常数 α,就能唯一确定位移分布函数。事实上, +∞ 2 2 −α r r e x dr 2 ∫ −∞ x x 1 r = = (4.5) x +∞ 2 −α r e x dr 2α ∫ −∞ x 又由公式(2.7)及公式(3.11)可得 2 1 2 1 2 r = r = na (4.6) x 2 6 比较公式(4.5)及公式(4.6)可得 3 α = 2 (4.7) na 所以位移分布函数为 3 2 2 − (r +r ) 3 2 x y F (r , r ) = e na (4.8) x y 2 nπa 或 6 上海交通大学 SJTU th 10 OAPS Working Paper Series 醉汉随机行走问题的统计学模型 3 2 3 − 2 r F (r) = 2 e na (4.9) nπa 4.2 位移值分布律 利用醉汉位移值分布函数与位移分布函数的关系可得到醉汉位移值分布函数。考 虑到F (r ,r ) = F (r 2 ) 只是位移值的函数,将公式(2.11)对角度积分,得 x y 2π 2π f (r ) =r F (r ,θ )dθ =rF (r ) dθ = 2πrF (r ) ∫0 ∫0 即 3 2 6r − 2 r f r = 2πrF r = e na (4.10) ( ) ( ) 2 na 5 实验模拟 对醉汉随机行走问题的统计规律进行了定量描述后,可以通过 MATLAB 仿真模拟 检验模型。实验由对统计规律的验证和醉汉位移值分布律的验证两个部分组成。 5.1 验证统计规律 5.1.1 实验原理 由于醉汉随机行走是服从一定统计规律的,所以可以利用蒙特卡洛方法模拟大量 醉汉行走一定步数后在平面内位置的分布状况。 现提出一种对醉汉随机行走问题的等价解释。每位醉汉行走 步之后会对应一个最 n 终位置,位醉汉就对应N 个最终位置。如果仅对一个醉汉进行N 次实验,每次试验醉 汉行走 步, 次之后也会得到 个最终位置,对应于第一种解释中 位醉汉在平面 n N N N 内的分布状况。所以说两种解释是等价的。 假设对醉汉模拟 次实验,每次实验醉汉行走 步。图 5-1 为示意的醉汉第 次行 N n i r r s 走实验,O 为起点,最终位置为 。图中向量 代表醉汉第 步随机行走,且 (r , r ) p p sp = sp x y r s 在区间 内均匀分布。设 在 轴投影为 ,在 轴投影为 。角度 为 (0,a) x s y s θ ∈ 0,2π p px py p [ ] r 需要模拟的随机变量, 代表向量s 与 轴夹角。 θ x p p r s = s cosθ = s cosθ (5.1) px p p p p r spy = sp sinθp = sp sinθp (5.2) n n r = ∑s = ∑s cosθ (5.3) x px p p p =1 p =1 n n r = ∑s = ∑s sinθ (5.4) y py p p p =1 p =1 重复 次,将 次实验的最终位置 , 存 N N r r x y 放至数组 A 和数组 B 中,可画出散点图。图5-1 第 次醉汉行走实验过程 i 上海交通大学 SJTU 7 詹其秦 机械与动力工程学院 5.1.2 实验结果 实验一: 令 ,控制醉汉行走步数 一定,观察实验次数 N 变化导致的醉汉位移分布图 a = 1 n 像图像的变化。模拟三组醉汉行走实验,每组实验选取醉汉行走步数 n=5000 步,实验 次数N 分别为 200 、1000 及 5000 次。得实验图像如图 5-2 、图5-3、图5-4 所示: 图5-2 N=200 时醉汉位置的分布图5-3 N= 1000 时醉汉位置的分布图5-4 N=5000 时醉汉位置的分布 实验二: 令 ,控制实验次数N 一定,观察醉汉行走步数 的变化导致的醉汉分布图像 a = 1 n 图像的变化。模拟三组醉汉行走实验,每组实验选取实验次数为 N =2000 ,醉汉行走步 数 n 分别为 1000、3000 及 5000 步。实验图像分别如图 5-5、图 5-6、图 5-7 所示: 图5-5 n= 1000 时醉汉位置的分布图5-6 n=3000 时醉汉位置的分布图5-7 n=5000 时醉汉位置的分布 5.1.2 实验结果分析 实验一与实验二都反映了醉汉随机行走模型的统计规律。 实验一与实验二图像大致为一亮白区域,区域的亮度随着区域向中心点的远离而 减弱。某一点附近区域的亮度代表了在那一点附近区域醉汉人数分布的密集程度,由 实验结果知在平面区域内醉汉人数的密集程度随着醉汉行走位移值的增加而减弱。这 是因为公式(4.8)表明醉汉位移分布函数是二维正态分布,在任意一个方向上单调性都 呈现递减趋势,这也正反映位移分布函数的各向同性性。 8 上海交通大学 SJTU th 10 OAPS Working Paper Series 醉汉随机行走问题的统计学模型 实验一结果表明醉汉位置分布会随着实验次数增加逐渐显示出圆对称性。这反映 了2.2 位移分布函数的各向同性性及对等性特点假设的合理性,同时说明了在实验次数 N 足够大的情况下,醉汉位移分布是符合统计规律的。 实验二模拟了醉汉的分布与其行走步数之间的关系。因为简化后的布朗运动与醉 汉随机行走模型相对应,所以实验二的意义在于模拟出了花粉随时间推移而扩散情况。 通过观察可以发现随着时间的推移花粉覆盖的范围也越大。经过足够长时间后可推知 花粉将扩散至整个平面,因此可以看出无规则行走的结果形成了扩散。 综上所述,该实验初步验证了统计规律的合理性。 5.2 验证醉汉位移值分布律 5.2.1 实验原理 对醉汉位移值分布律的正确性验证模拟实验分为两步完成,第一步利用蒙特卡洛 方法模拟醉汉在行走一定步数后在平面内位移值的分布情况,可以得到一系列位移值 ——位移值分布散点数据。第二步对得到的散点数据进行拟合,比较拟合结果的曲线 与理论曲线表达式与位形的差异,最后得出结论。 模拟醉汉在行走一定步数后在平面内位移值的分布情况需要用到 5.1.1 中的模拟方 uv i 2 2 法。从图 5-1 知第 次行行走的最终位移值 r = r + r ,所以只需将存放r 、r 的数 i ix iy ix iy i 组A 和B 进行一定运算后就能得到醉汉第 次行走实验的最终位移值,进而得到所有N 次行走实验的最终位移值,将其存入数组 C 中。在数组中抽取最大的最终位移值r , max 得到位移值的取值范围为 ⎡0, r +1⎤ (r 代表对r 下取整)。取每个离散的位移值 ⎣ [ max ] ⎦ [ max ] max 区间为 1 个单位,共得到[r ] + 1个位移值,将其存入数组 D 中。进而统计落入每一单 max 位位移值区间的实验次数。设落入第 个区间的实验次数为 ,则可得位移值分布 k N k N f r = f k = k (5.5) ( ) ( ) N 将f r 数据存放入数组 E 中。再将数组 D 与数组 E 的实验数据作为实验数据点 ( ) r (Experimental Data Points)在坐标平面上表示出来,其中横坐标为位移值 ,银河在线官方网址纵坐标为由 公式(5.5)计算出的f r 数值。 ( ) 在得到实验数据点之后,用 Weibull 函数对实验数据点进行拟合,得到拟合曲线 (Fitting Curve),将其与理论曲线(Theoretical Curve)相比较,得出结论。 (b −1) b 注:Weibull 函数形式为f (x ) =b 1 ⋅b 2 ⋅x 2 ⋅exp (−b 1 ⋅x 2 ) 。 5.2.2 实验结果 实验三:令a = 1 ,模拟醉汉行走步数n = 500 步,实验进行次数N = 2000 次。 上海交通大学 SJTU 9 詹其秦 机械与动力工程学院 实验图像: 图5-8 理论和实验的位移值分布曲线 实验数据与公式: -3 2 (1) 将 n 和 数值代入公式(4.10)可求得理论函数为 -3 −6×10 ×r 。 a f r = 12×10 × r×e ( ) −3 2.108 (2) 拟合函数为 −3 1.108 −4.240×10 ×r ,拟合的确定系数 R-square 为 f r = 8.937×10 r e ( ) 0.9768 ,标准差RMSE为3.789 ×10−3 。 实验四:令a = 1 ,模拟醉汉行走步数n = 10000 步,实验进行次数N = 10000次。 实验图像: 图5-9 理论和实验的位移值分布曲线 上海交通大学 SJTU th 10 OAPS Working Paper Series 醉汉随机行走问题的统计学模型 实验数据与公式: -4 2 (1)将 n 和 数值代入公式(4.10)得理论函数为 -4 −3×10 ×r 。 a f r = 6×10 × r ×e ( ) −4 2.023 (2)拟合函数为 −4 1.023 −2.661×10 ×r ,拟合的确定系数R-square 为 f r = 5.383×10 r e ( ) 0.9769 ,标准差RMSE为8.340 ×10−4 。 5.2.3 实验结果分析 实验三与实验四都对醉汉随机行走模型的位移值分布律进行了检验。 从实验三的图 5-8 及拟合结果来看,实验数据点在理论曲线附近涨落,拟合曲线 与理论曲线稍有差异,但可以初步判断位移值分布律的正确性。 实验四与实验三相比,增加了行走步数及实验次数。银河在线官方网址从图5-9 中可以看出拟合曲 线与理论曲线几乎完全重合,拟合确定系数比前一实验有所提高,标准差减小,这进 一步验证了醉汉随机行走模型的可靠性。 综上所述,该实验进一步证实了醉汉随机行走问题的统计学模型的可靠性。 6 总结 经过分析与讨论,醉汉随机行走问题成功地得到了解决。醉汉随机行走问题的统 计学模型可以认为是布朗运动问题的简化,具有重要的理论研究意义。本文不仅体现 了统计思想在无规则运动的运用,而且对醉汉随机行走问题进行仿真模拟实验成功地 验证了统计学模型的可靠性。理论模型与实验结果互为映证,相得益彰,展现了科学 的研究方法。 参考文献 ⋅ [1] 汪志诚,热力学 统计物理[M]北京:人民教育出版社,1980:345-346. [2] 上海交通大学物理教研室,大学物理教程[M].上海:上海交通大学出版社,2011:280-289. 上海交通大学 SJTU 11

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