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文章关键词:银河在线官方网址,同调代数

  基本上线性代数入门,但是这时候你只知道机械地运算,却不知道矩阵作为矩阵环上有很多独特的性质可以搞出很多好东西。银河在线官方网址为了让你知道这一点要去学习群环域,改造世界观,知道如何从一点点运算律当中总结某种universe的东西。

  当你可以接受结构化的数学时,接下来前辈们会非常热心地给你一个例子,告诉你,如何结构化地(保证运算律和既有结构)扩张数域,从实数到复数,复数下一步是四元组,这就是大名鼎鼎的伽罗瓦扩张。之后你发现群本身性质太少,你想要一些更好性质的群或者环,这就发展了交换代数,很多在群里general的结论可以进一步细化。然后基本上可以分叉了。

  保守学习路径是可以稍作休息,回头学一遍矩阵论,这时候感悟会很深。然后学表示论,一般是有限群的。无限群的接触一下李群,这时候你会莫名发现自己和几何勾搭上了。

  不想停下来可以直接古典代数几何,学完交换代数使你有资本进入这个古老又新潮的领域,然后你就会觉得范畴论好有用啊……

  或者分叉上同调代数,但是实际上我个人认为古典的上同调是为了代数拓扑服务的,代数拓扑核心问题是用代数结构代数手段去分类、分析拓扑结构。同样同调代数有现代化的发展,嘉当在上世纪五十年代把群和李群的用范畴论重新叙述。

  抽象代数随便挑一本书, 一般会从简单的数论开始讲。然后延展到群环域, 再加点symmetry, Galois Theory之类的。

  交换代数当我们想往代数数论或者代数几何方向研究, 就先从交换代数开始学习(一般会从环和理想开始讲 没错我说的就是Atiyah那本哈哈哈), 之后还可以学计算交换代数之类的... 【有名的几本交换代数的书我觉得都是往代数几何走...

  代数拓扑主要围绕同调同论。【但个人认为, 相对于代数拓扑来说, 很多大学更倾向于开设微分拓扑的课程, 比如李群, 微分流形之类...

  如果只是单纯喜欢纯数 那还可以看看数学史, 图论, 拓扑, 实分析复分析, Measure Theory, 李群入门, 各种几何(防射, 射影...), 组合, etc.

  数学里的各个学科或者对象之间的关系很大程度上取决你看问题的角度。在你一无所知时应该先学习具体的学科,学到足够的程度自然会遇到所谓进阶课程。事先了解除了可以当谈资也没有其他益处。

  就代数学而言,抽象代数自然是最基础的课程。可以看Gtm73,这可能是我看过最简单的gtm了。这本也涉及到了简单的交换代数,和简单的范畴论。非常亲民。读完这本至少代数学的基础是有了的。非常不建议看中文的书。说实话国内大学代数学的教育真的太缺失了,我前两年就认识我们学校(数学还可以的985)大四的保研的学基数的连个Universal property都不知道……当然了ta置换群什么的倒是算的贼溜,可又有什么用呢(笑).

  如果你学完基本的抽象代数,可以学交换代数与同调代数。问题是这两门学科虽然有自己的东西,但是在很多情况下还是应用到代数几何和代数数论里的。同调代数虽然脱胎于代数拓扑,但是就现在而言即使你完全不懂代数拓扑,也可以通过代数几何或代数数论等来“ 应用”同调代数,(比如我)。

  个人非常喜欢交换代数,市面上的交换代数的书多多少少都有代数几何的影子,要么在习题里,比如atiyah的,要么直接写在标题里,比如Esinbud的.还是不推荐看中文的,基本上都是乐色。

  至于代数拓扑,emmm,不懂.如果你想学代数,我觉得只能去北大什么的或者出国,稍微差一点的学校是没有代数滴,比如我校,蛤蛤。撑死了可以学个李代数什么的。

  哈哈,我觉得学数学最大的乐趣在于独立的发现,别人告诉你的再美妙的东西,也不能给你太大的触动。如果你有一天,在学了很多东西之后,灵光一现把他们串联起来,虽然可能得到是很平凡的想法,但也绝对是值得你高兴的。

  抽象代数,或者说基础代数,是后面那几门的基础,这个不用说。代数的研究经过了三个阶段,其一就是ancient algebra。那个时候的代数研究几乎只靠纯粹的代数运算,所以效率极低而且结论平庸。其二是基础代数,就是群环域模等代数结构及其态射的研究。银河在线官方网址这个阶段得出的成果岂止千百倍于第一阶段?但这还不是最本质的。第三阶段就是真正的“近代代数”:范畴的研究,这就是交换代数。

  历史上交换代数的成因是复杂的。首先,范畴论是交换代数的基础,但他开始是用来研究拓扑学的。开始范畴论作为古典代数拓扑的工具,其重要性连其发明者(对不起名字不记得了)都未意识到。更有趣的是,古典代数拓扑不仅催生了交换代数,同时也给出了同调代数的基本思想。这个过程实在太有趣了,银河在线官方网址一下子不可能讲完,这里只能割爱。

  总之抽象代数是后面三者之基础。基础代数与拓扑学碰撞出了范畴论,而范畴论催生了交换代数与同调代数,同时他们又互相影响,互相渗透,互相促进。

  题主如果真的很想了解的话,建议去学习伽罗瓦理论,点集拓扑,加上你学的群论够读你说的那三门了。或者说,一本gtm代数足矣。

  突然看到答主是高二的。那么我强烈推荐gtm那本厚厚的Algebra,第几版的都可以。

  抽象代数是个很宽泛的概念,事实上硬要说的话交换代数也能放在抽象代数的课里讲,比如dummit那本近世代数就把抽象代数和大部分交换代数讲全了。如果按一般的课程安排来看,抽象代数讲的是群环域模的基本知识和Galois理论的基础,而交换代数主要研究的是交换环以及他们的理想和他们上的模,还有一些dimension theory,primary decomposition之类的东西。

  代数拓扑也是个很宽泛的概念,总体上来说就是用代数方法研究拓扑,而同调代数的出现我感觉很大程度是被代数拓扑motivate的(瞎猜的)。事实上,同调其实是个很简单的概念:如果两条链,他们之间相差一个高一维复形的边缘,就称他们是同调的,而p维同调群就是p维闭链群模掉p+1维边缘链群,或者说就是以同调为等价关系的闭链群(你可以把链理解为边)。代数拓扑中比较常用的几个拓扑不变量就有同调群和上同调群(环) ,理解上同调需要懂一点点范畴论。当然还有同伦群,不过我所有知道的只有一维同伦群的交换化同构于一维同调群。。

  同调代数在我看来是一些计算同调群的方法(有可能是胡扯),比如正合序列,自由分解以及他们导出的kunneth公式,泛系数定理。还有谱序列等等。上述四门课程,抽象代数是另外三门的基础,而另外三门在学完抽代后都可以学,学同调代数前懂点代数拓扑可能会好点。

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